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高三数学函数解题方法方法

虹静分享

  什么是高三数学函数解题方法? 今天小编为大家推荐高三数学函数解题方法,希望大家在学习的路上越来越好。

  高三数学函数解题方法是什么

  一.观察法

  通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。

  例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

  点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域。

  解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,

  故3+√(2-3x)≥3。

  ∴函数的知域为.

  点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。

  本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。

  练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})

  二.反函数法

  当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。

  例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

  点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。

  解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。

  点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。

  练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})

  三.配方法

  当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

  例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

  点拨:将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求。

  解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]

  ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

  点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

  练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

  四.判别式法

  若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

  例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

  点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。

  解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)

  当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2

  当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2

  点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

  练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为y≤-8或y>0)。

  五.值法

  对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的较值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的值,可得到函数y的值域。

  例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

  点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。

  解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

  ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。

  当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。

  ∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。

  点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间,若存在值,也可通过求出值而获得函数的值域。

  练习:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为()

  A.(-∞,+∞)B.[-7,+∞]C.[0,+∞)D.[-5,+∞)

  (答案:D)。

  六.图象法

  通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。

  例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。

  点拨:根据值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。

  解:原函数化为-2x+1(x≤1)

  y=3(-1

  2x-1(x>2)

  它的图象如图所示。

  显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。

  点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

  求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

  求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

  七.单调法

  利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

  例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

  点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。

  解:设f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x

  在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}。

  点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。

  练习:求函数y=3+√4-x的值域。(答案:{y|y≥3})

  八.换元法

  以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。

  例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。

  点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的值,确定原函数的值域。

  解:设t=√2x+1(t≥0),则

  x=1/2(t2-1)。

  于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

  所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。

  点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

  练习:求函数y=√x-1–x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}

  高考数学五大主要解题思路

  高考数学解题思想一:函数与方程思想

  函数思想是指运用运动变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。

  高考数学解题思想二:数形结合思想

  中学数学研究的对象可分为两大部分,一部分是数,一部分是形,但数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合或形数结合。它既是寻找问题解决切入点的“法宝”,又是优化解题途径的“良方”,因此我们在解答数学题时,能画图的尽量画出图形,以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

  高考数学解题思想三:特殊与一般的思想

  用这种思想解选择题有时特别有效,这是因为一个命题在普遍意义上成立时,在其特殊情况下也必然成立,根据这一点,我们可以直接确定选择题中的正确选项。不仅如此,用这种思想方法去探求主观题的求解策略,也同样精彩。

  高考数学解题思想四:极限思想解题步骤

  极限思想解决问题的一般步骤为:(1)对于所求的未知量,先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;(3)构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。

  高考数学解题思想五:分类讨论思想

  我们常常会遇到这样一种情况,解到某一步之后,不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去,这是因为被研究的对象包含了多种情况,这就需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合归纳得解,这就是分类讨论。引起分类讨论的原因很多,数学概念本身具有多种情形,数学运算法则、某些定理、公式的限制,图形位置的不确定性,变化等均可能引起分类讨论。在分类讨论解题时,要做到标准统一,不重不漏。
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