八年级数学期中考试卷子

　　【考点】旋转的性质.

　　【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，再利用四边形内角和计算出∠BAD=70°，然后利用互余计算出∠DAD′，从而得到α的值.

　　【解答】解：∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，

　　∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，

　　∵∠ABC=90°，

　　∴∠BAD=180°﹣∠2，

　　而∠2=∠21=110°，

　　∴∠BAD=180°﹣110°=70°，

　　∴∠DAD′=90°﹣70°=20°，

　　即α=20°.

　　故答案为20°.

　　15.两个全等菱形如图所示摆放在一起，其中B、C、D和G、C、F分别在同一条直线上，若较短的对角线长为10，点G与点D的距离是24，则此菱形边长为　13　.

　　【考点】菱形的性质.

　　【分析】首先连接AC和BD，根据题意求出BO和OC的长，进而利用勾股定理求出菱形的边长.

　　【解答】解：连接AC和BD，相交于点O，

　　∵点G与点D的距离是24，

　　∴OC=12，

　　∵较短的对角线长为10，

　　∴OB=5，

　　∴在Rt△OBC中，BC= =13，

　　∴菱形边长为为13，

　　故答案为13.

　　16.如图，菱形ABCD的对角线长分别为a、b，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四边形A2016B2016C2016D2016的面积用含a，b的代数式表示为　( )2017ab　.

　　【考点】矩形的性质;菱形的性质.

　　【分析】根据三角形中位线定理，逐步推理出各小长方形的面积，总结出规律，用规律解答即可.

　　【解答】解：∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，

　　∴S四边形ABCD= ab;

　　由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，

　　∴四边形A2016B2016C2016D2016的面积为( ab.

　　故答案为： ab.

　　三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分)

　　17.如图，在▱ABCD中，∠D=45°，∠CAD=35°，求∠B和∠BAC的度数.

　　【考点】平行四边形的性质.

　　【分析】根据平行四边形的性质可知：∠D=∠B═45°，AB∥CD，得出∠BAD+∠D=180°，求出∠BAD的度数，即可得出∠BAC的度数.

　　【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

　　∴∠B=∠D=45°，AB∥CD，

　　∴∠BAD+∠D=180°，

　　∴∠BAD=180°﹣45°=135°，

　　∴∠BAC=∠BAD﹣∠CAD=135°﹣35°=100°.

　　18.一个不透明的袋子中有编有序号的5个球(从1号到5号)，其中3个黄球(从1号到3号)，2个白球(从4号到5号)，这些球除颜色不同外其他完全相同.

　　(1)从袋子中随机摸出一个球是1～5号中的一个，一共有几种结果，这个事件是等可能的吗?摸到黄球和白球是等可能的吗?

　　(2)“从袋子中随机摸出一个球是红球”是　不可能　事件;

　　(3)从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率是多少?

　　【考点】概率公式.

　　【分析】(1)共有5个球，于是可判断有5种等可能的结果数，由于黄球与白球的个数不等，所以摸到黄球和白球不是等可能的;

　　(2)根据确定事件的定义求解;

　　(3)根据概率公式求解.

　　【解答】解：(1)从袋子中随机摸出一个球是1～5号中的一个，一共有5种结果，这个事件是等可能的，摸到黄球和白球不是等可能;

　　(2)“从袋子中随机摸出一个球是红球”是不可能事件;

　　(3)从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率= .

　　故答案为不可能.

　　19.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A、B、C都是格点.

　　(1)画出△ABC关于BC对称的△A′B′C′;

　　(2)将△ABC绕图中的格点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C1;

　　(3)画出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2.

　　【考点】作图-旋转变换;作图-轴对称变换.

　　【分析】(1)利用对称轴的性质画出点A的对应点A′即得到△A′B′C′;

　　(2)利用网格特点和旋转的性质分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1;

　　(3)利用网格特点和旋转的性质分别画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2.

　　【解答】解：(1)如图，△A′B′C′为所作;

　　(2)如图，△A1B1C1为所作;

　　(3)如图，△A2B2C2为所作.

　　20.已知：如图，P为矩形ABCD内一点，PC=PD，求证：PA=PB.

　　【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质.

　　【分析】欲证明PA=PB只要证明△PAD≌PBC即可.

　　【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，

　　∴AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，

　　∵PD=PC，

　　∴∠PDC=∠PCD，

　　∴∠ADP=∠BCP，

　　在△PAD和△PBC中，

　　，

　　∴△PAD≌△PBC，

　　∴PA=PB.

　　四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

　　21.下面是小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据.

　　抛掷次数 100 200 300 400 500

　　正面朝上的频数m 51 98 153 200 255

　　正面朝上的频率

　　(1)填写表中的空格;

　　(2)画出折线统计图;

　　(3)当试验次数很大时，“正面朝上”的频率在　0.51　附近摆动.

　　【考点】利用频率估计概率;频数(率)分布折线图.

　　【分析】(1)利用正面朝上的频数÷抛掷次数=正面朝上的频率分别求出即可;

　　(2)利用(1)中所求画出折线图即可;

　　(3)利用(1)所求，进而估计出，“正面朝上”的频率.

　　【解答】解：(1)填表如下：

　　抛掷次数 100 200 300 400 500

　　正面朝上的频数m 51 98 153 200 255

　　正面朝上的频率

　　0.51 0.49 0.51 0.5 0.51

　　(2)如图所示：

　　;

　　(3)当试验次数很大时，“正面朝上”的频率在0.51附近摆动.

　　故答案为：0.51.

　　22.学校统筹安排大课间体育活动，在各班随机选取了一部分学生，分成四类活动：“跳绳”、“羽毛球”、“乒乓球”、“其他”进行调查，整理收集到的数据，绘制成如图的两幅统计图.

　　(1)学校采用的调查方式是　抽样调查　;学校在各班随机选取了　100　名学生;

　　(2)补全统计图中的数据：羽毛球　21　人、乒乓球　18　人、其他　25　%;

　　(3)该校共有900名学生，请估计喜欢“跳绳”的学生人数.

　　【考点】条形统计图;全面调查与抽样调查;用样本估计总体;扇形统计图.

　　【分析】(1)根据在各班随机选取了一部分学生，即为抽样调查，利用喜欢“篮球”的学生36人，所占百分比为36%，即可得出样本容量;

　　(2)用1减去篮球、羽毛球、乒乓球所占百分比，得到其他所占百分比，再用样本容量乘以对应百分比，可得羽毛球、乒乓球、其他的人数，即可补全统计图中的数据;

　　(3)利用样本估计总体，用900乘以喜欢“跳绳”的学生所占的百分比即可得出全校喜欢“跳绳”的学生人数.

　　【解答】解：(1)学校采用的调查方式是抽样调查;

　　由题意可得：喜欢篮球的人数为：36人，所占比例为：36%，

　　所以学校在各班随机选取了学生：36÷36%=100(名);

　　故答案为：抽样调查，100;

　　(2)喜欢羽毛球人数为：100×21%=21(人)，

　　喜欢乒乓球人数为：100×18%=18(人)，

　　其他所占百分比为：1﹣36%﹣21%﹣18%=25%，

　　喜欢其它人数为：100×25%=25(人)，

　　补全统计图如下：

　　故答案为：21，18，25;

　　(3)900×36%=324.

　　答：估计喜欢跳绳的人数约为324人.

　　23.已知：如图，在四边形ABCD中，P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点.

　　(1)求证：PQ、MN互相平分;

　　(2)当四边形ABCD的边满足条件：　AB=CD　时，PQ⊥MN.(不必证明)

　　【考点】中点四边形.

　　【分析】(1)连接MP、NP、MQ、NQ，根据三角形中位线定理得到PM= AB，PM∥AB，NQ= AB，NQ∥AB，根据平行四边形的判定定理证明四边形PMQN是平行四边形，根据平行四边形的性质定理证明结论;

　　(2)根据菱形的判定定理和性质定理解答即可.

　　【解答】(1)证明：连接MP、NP、MQ、NQ，

　　∵P、M分别是AD、BD的中点，

　　∴PM= AB，PM∥AB，

　　同理NQ= AB，NQ∥AB，

　　∴PM∥NQ，PM=NQ，

　　∴四边形PMQN是平行四边形，

　　∴PQ、MN互相平分;

　　(2)AB=CD，

　　∵PM= AB，PN= CD，

　　当AB=CD时，PM=PN，

　　则平行四边形PMQN是菱形，

　　∴PQ⊥MN.

　　五、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

　　24.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF.

　　(1)连接BE，求证：四边形BFDE是菱形，并说明理由;

　　(2)若AB=8cm，BC=16cm，求线段DF及折痕EF的长.

　　【考点】菱形的判定;翻折变换(折叠问题).

　　【分析】(1)由EF垂直并平分BD BD与EF交于点O，四边形ABCD是矩形，易证得△DOE≌△BOF，继而证得DE=BE=BF=DF，则可得四边形BFDE是菱形;

　　(2)首先设DF=x，则FC=16﹣x，在Rt△EBF中，利用勾股定理即可求得菱形的边长，再过点E作EG⊥BC于G，即可求得答案.

　　【解答】解：(1)四边形BFDE是菱形.

　　由折叠可知：EF垂直并平分BD BD与EF交于点O，

　　则BE=DE BF=DF，

　　∵四边形ABCD是矩形，

　　∴DE∥BF，

　　∴∠EDO=∠FBO，

　　在△DOE和△BOF中，

　　，

　　∴△DOE≌△BOF(ASA)，

　　∴DE=BF，

　　∴DE=BE=BF=DF，

　　∴四为形BFDE为菱形;

　　(2)设DF=x，则FC=16﹣x，

　　在Rt△EBF中，由勾股定理得：FC2+DC2=DF2，

　　即82+(16﹣x)2=x2，

　　解得：x=10，

　　即DF的长为10，

　　过点E作EG⊥BC于G，则GF=4，

　　由勾股定理得：EF= =4 .

　　25.将面积为4的正方形ABCD与面积为8的正方形AEFG按图①的位置放置，AD、AE在同一条直线上，AB、AG在同一条直线上.

　　(1)试判断DG、BE的数量和位置关系，并说明理由;

　　(2)如图2，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，求此时BE的长;

　　(3)如图3，将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，请直接写出△GHE与△BHD面积之和的最大值.

　　【考点】四边形综合题.

　　【分析】(1)由正方形的性质可证△ADG≌△ABE(SAS)，因此可证得∠AGD=∠AEB，如图1，延长EB交DG于点H，然后由三角形的内角和和直角三角形的两锐角互余可证得结论;由正方形的性质和等量代换可证△ADG≌△ABE(SAS)，因此可证得DG=BE，

　　(2)如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，根据正方形的性质可证得DM=AM= ，然后根据勾股定理可求得GM的长，进而可求得BE=DG=DM+GM.

　　(3)对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，所以当点H与点A重合时，△EGH的高最大，对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，所以当点H与点A重合时，△BDH的高最大，因此求出这时的面积，再相加即可.

　　【解答】解：(1)如图1，

　　四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，

　　∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，

　　∴△ADG≌△ABE(SAS)，

　　∴∠AGD=∠AEB，

　　延长EB交DG于点H，

　　△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，

　　∴∠AEB+∠ADG=90°，

　　△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，

　　∴∠DHE=90°，

　　∴DG⊥BE，

　　(2)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，

　　∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，

　　∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，

　　∴∠DAG=∠BAE，

　　AD=AB，∠DAG=∠BAE，AG=AE，

　　∴△ADG≌△ABE(SAS)，

　　∴DG=BE，

　　如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，

　　∠AMD=∠AMG=90°

　　BD是正方形ABCD的对角线，

　　∴∠MDA=45°，

　　∵面积为4的正方形ABCD与面积为8的正方形AEFG

　　∴AD=2，AE=2 ，

　　在Rt△AMD中，∠MDA=45°，

　　∴COS45°= ，

　　∴DM= ，

　　∴AM= ，

　　在Rt△AMG中，GM= = ，

　　∵DG=DM+GM= + ，

　　∴BE=DG= + ，

　　(3)面积的最大值为6.

　　如图，

　　对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，

　　所以当点H与点A重合时，△EGH的高最大，

　　∴S△EGH= AG×AE= ×8=4，

　　对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，

　　所以当点H与点A重合时，△BDH的高最大，

　　∴S△BDH= AD×AB= ×4=2，

　　∴△GHE与△BHD面积之和的最大值是4+2=6.

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