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高三理科数学上学期期中试卷

诗盈分享

  把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上,今天小编就给大家分享一下高三数学,欢迎阅读学习

  高三数学上学期期中试卷理科

  第Ⅰ卷(选择题 共60分)

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1. 已知集合 ,则集合 且 为( )

  A. B. C. D.

  2. 若复数 满足 ,则 的虚部为( )

  A. B. C. D.

  3.三角形内,a>b是cosA

  A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

  4. 若 是 的一个内角,且 ,则 的值为( )

  A. B. C. D.

  5. 两个非零向量 满足 则向量 与 夹角为( )

  A. B. C. D.

  6. 如果 位于第三象限,那么角 所在的象限是( )

  A.第一象限 B.第二象限 C.第一或三象限 D.第二或四象限

  7. 函数 的图象可能是( )

  A. B.

  C. D.

  8. 已知数列 满足: , ,设数列 的前 项和为 ,则 ( )

  A.1007 B.1008 C.1009.5 D.1010

  9. 在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,它们的终边关于x轴对称,若 ,则 ( )

  A. 或 B. 或 C. D.

  10.已知函数 的图象向左平移 个单位后,得到函数 的图象,下列关于 的说法正确的是( )

  A.图象关于点 中心对称 B.图象关于点 中心对称.

  C.图象关于 轴对称 D.图象关于 轴对称

  11. 已知函数 的图象关于点 对称,若函数 有四个零点 则 ( )

  A.2 B.4 C.6 D.8

  12. 已知 是定义在 上的单调递减函数, 是其导函数,若 ,则下列不等关系成立的是( )

  A. B. C. D.

  第Ⅱ卷(非选择题,共90分)

  二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上).

  13. 已知 若 ,则实数 __________

  14. __________

  15. 在 中, ,其面积为 ,则 的取值范围是__________

  16. 关于函数 ,有下列命题:

  ①由 可得 必是 的整数倍;

  ② 的表达式可改写为 ;

  ③ 的图象关于点 对称;

  ④ 的图象关于直线 对称.

  其中不正确的命题的序号是__________.

  三、解答题(本大题共6小题,满分共70分)

  17.(本小题满分10分) 在 中,角 、 、 的对边分别为 、 、 ,向量 , ,且 .

  (1)求锐角 的大小;

  (2)若 ,求 面积的最大值.

  19.(本小题满分12分)

  某经销商计划经营一种商品,经市场调查发现,该商品每日的销售量 (单位:千克)与销售价格 (单位:元/千克, ),满足:当 时, ( 为常数);当 时, .已知当销售价格为 元/千克时,每日可售出该特产 千克;当销售价格为 元/千克时,每日可售出 千克.

  (1)求 的值,并确定 关于 的函数解析式;

  (2)若该商品的销售成本为 元/千克,试确定销售价格 的值,使店铺每日销售该特产所获利润 最大

  20.(本小题满分12分)

  设各项均为正数的数列 的前 项和为 ,满足 , 且 构成等比数列.

  (1)求数列 的通项公式;

  (2)若对一切正整数 都有 ,求实数 的最小值.

  21.(本小题满分12分)

  已知 .

  (1)讨论 的单调性

  (2)若 在 上有且仅有一个零点,求 的取值范围.

  22.(本小题满分12分)

  已知函数

  (1)若 ,求曲线 在点 处的切线方程

  (2)若 在 上恒成立,求实数 的取值范围

  (3)若数列 的前 项和 , ,求证:数列 的前 项和

  数 学 试 题 答 案(理科)

  1--12 B DCBC CCDCB BA

  13. -1 14. 15.(-1,0) 16. (1)(4)

  17.解:(1)∵ ,∴ , +1分

  ∴ . +3分

  又∵ 为锐角,∴ ,

  ∴ ,∴ . +5分

  4. ∵ , ,

  由余弦定理 ,得 . +7分

  又 ,代入上式,得 ,

  当且仅当 时等号成立. +9分

  故 ,

  当且仅当 时等号成立,

  即 的最大值为 . +10分

  +4分

  +6分

  +8分

  +10分

  +12分

  19.解:(1)由题意: 时 ,

  ∴ ,

  又∵ 时 ,

  ∴ ,可得 , +2分

  ∴ +4分

  (2)由题意: +5分

  当 时,

  由 得 或 由 得

  所以 在 上是增函数,在 上是减函数

  因为 所以 时, 的最大值为 +8分

  当 时,

  当且仅当 ,即 时取等号,

  ∴ 时有最大值 . ∵ , +11分

  ∴当 时 有最大值 ,

  即当销售价格为 元的值,使店铺所获利润最大. +12分

  20.解:(1) 即

  且

  ∴ ,

  ∴ ,

  ∵ ,∴ ,

  ∴当 时, 是公差为 的等差数列. +4分

  ∵ ,构成等比数列,

  ∴ ,解得 , +5分

  又由已知,当 时, ,

  ∴ ∵ ,

  ∴ 是首项 ,公差 的等差数列.

  ∴数列 的通项公式 . +6分

  (2)由(1)可得式

  +10分

  解得

  ∴ 的最小值为 +12分

  21.解:(1)由已知 的定义域为 ,又 , +1分

  当 时, 恒成立; +2分

  当 时,令 得 ;令 得 . +4分

  综上所述,当 时, 在 上为增函数;

  当 时, 在 上为增函数,在 上为减函数. +5分

  (2)由题意 ,则 , +6分

  当 时,∵ , +7分

  ∴g在上为增函数,又 ,不符合题意.

  当 时, , +8分

  令 ,则 .

  令 的两根分别为 且 ,

  则∵ ,∴ ,

  当 时, ,∴ ,∴ 在 上为增函数;

  当 时, ,∴ ,∴ 在 上为减函数;

  当 时, ,∴ ,∴ 在 上为增函数.

  ∵g=0,∴ 在上只有一个零点 1,且 >0, <0.

  ∴ ,

  ∴g在上必有一个零点.

  ∵ ,当 时,g<0,∴ .

  ∴ 在 上必有一个零点.

  综上所述,a的取值范围为 +12分

  22.解:(1)因为 ,所以 , ,切点为 .由 ,所以 ,所以曲线 在 处的切线方程为 ,即 +2分

  (2)由 ,令 ,则 (当且仅当 取等号).故 在 上为增函数.

  ①当 时, ,故 在 上为增函数,所以 恒成立,故 符合题意;

  ②当 时,由于 , ,根据零点存在定理,必存在 ,使得 ,由于 在 上为增函数,故当 时, ,故 在 上为减函数, 所以当 时, ,故 在 上不恒成立,所以 不符合题意.综上所述,实数 的取值范围为 +6分

  (3)证明:由 由2知当 时, ,故当 时, , 故 ,故 .下面证明:

  因为

  而,

  所以, ,即: +12分

  关于高三上学期数学期中试题

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

  1.已知 则 等于( )

  A. B. C. D.

  2.命题“”的否定是( )

  A. B.

  C. D.

  3.“ ”是“ ”的( )

  A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

  4.已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图像如图所示,则y=f(x)(  )

  A.在(-∞,0)上为减少的 B.在x=0处取极小值

  C.在(4,+∞)上为减少的 D.在x=2处取极大值

  5. ( )

  A.0 B. C. D.1

  6.下列求导运算正确的是(  )

  A.(cos x)′=sin x B.(ln 2x)′=1x C.(3x)′=3xlog3e D.(x2ex)′=2xex

  7 .将函数y=sinx-π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π3个单位,得到的图象对应的解析式为(  )

  A.y=sin 12x B.y=sin12x-π2 C.y=sin12x-π6 D.y=sin2x-π6

  8.三次函数 的图象在点 处的切线与 轴平行,则 在区间 上的最小值是( )

  A. B. C. D.

  9.函数错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。)的图象可能为( )

  A. B. C. D.

  10.已知sin α+3cos α3cos α-sin α=5,则tanα的值是(  )

  A.25 B.2 C.-2 D.-25

  11.已知错误!未找到引用源。是定义在错误!未找到引用源。上的奇函数,当错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。,则函数错误!未找到引用源。的零点的集合为( )

  A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

  12. 对于函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。,若存在错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用源。,则称函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。互为“零点密切函数”,现已知函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。互为“零点密切函数”,则实数错误!未找到引用源。的取值范围是( )

  A.[3,4] B.[1,2] C.[-1,3] D.[-3,1]

  二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

  13.已知sin(π-θ)=-23,且θ∈-π2,0,则tan(2π-θ)=

  14.已知幂函数f(x)= ,若f(a+1)

  15.设函数 ,则

  16.如图,在 中, ,点 在线段 上,且 , ,

  则 的面积的最大值为 .

  三.解答题:共70分。解答题应写出文字说明,证题过程或演算步骤。

  17.(10分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时, f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.

  (1)画出函数f(x)在y轴右侧的图象,并写出函数f(x)(x∈R)的解析式;

  (2)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),当a>1时求函数g(x)的最小值.

  18.(12分)已知函数f(x)=4cosωx•sinωx+π4 (ω>0)的最小正周期为π.

  (1)求ω的值;

  (2)求f(x)在区间0,π2上的单调增区间.

  19.(12分)已知△ABC是斜三角形,内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c.若csin A=3acos C.

  (1)求角C;

  (2)若c=21,且sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求△ABC的面积.

  20. (12分)已知函数f(x)=-x3+12x+m.

  (1)若x∈R,求函数f(x)的极大值与极小值之差;

  (2)若函数y=f(x)有三个零点,求m的取值范围.

  21.(12分)已知函数f(x)=ln x,g(x)=12ax+b.

  (1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式;

  (2)若φ(x)=m(x-1)x+1-f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围.

  22.(12分)设函数 , ,其中 .

  (1)求 的单调区间;

  (2)若 存在极值点 ,且 ,其中 ,求证: .

  高三数学(理科)试卷参考答案

  一.选择题:

  题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

  答案 A D A C B B C D D B D A

  二.填空题:

  13. 14. (3,5)   15. 7 16.

  三.解答题:共70分。解答题应写出文字说明,证题过程或演算步骤。

  17.(10分)

  解:(1)若x>0,则-x<0,又函数f(x)是定义在R上的偶函数, ----( 补画图正确给3分)

  且当x≤0时, f(x)=x2+2x,

  ∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),

  ∴f(x)= --------5分

  (3)g(x)=x2-2x-2ax+2,其图象的对称轴方程为x=a+1,

  当a>1时,a+1>2,g(x)=x2-2x-2ax+2)在[1,2]上单调递减, ----------8分

  g(x)在[1,2]上的最小值为g(2)=2-4a 。 ----------10分

  18. (12分)

  解:(1)f(x)=4cos ωx•sinωx+π4=22sin ωx•cos ωx+22cos2ωx

  =2(sin 2ωx+cos 2ωx)+2=2sin2ωx+π4+2. ------4分

  因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有2π2ω=π,故ω=1. -----6分

  (2)由(1)知,f(x)=2sin2x+π4+2.若0≤x≤π2,则π4≤2x+π4≤5π4. ------7分

  当π4≤2x+π4≤π2,即0≤x≤π8时,f(x)单调递增;

  综上可知,f(x)在区间0,π8上单调递增。 ------------ 12分

  19.(12分)

  解:(1)根据asin A=csin C,可得csin A=asin C, ----------2分

  又因为csin A=3acos C,所以asin C=3acos C, ---------4分

  所以sin C=3cos C,所以tan C=sin Ccos C=3,

  因为C∈(0,π),所以C=π3. ------------6分

  (2)因为sin C+sin(B-A)=5sin 2A,sin C=sin(A+B),

  所以sin(A+B)+sin(B-A)=5sin 2A,

  所以2sin Bcos A=5×2sin Acos A.

  因为△ABC为斜三角形,所以cos A≠0,

  所以sin B=5sin A. ----------8分

  由正弦定理可知b=5a, ①

  由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,

  所以21=a2+b2-2ab×12=a2+b2-ab, ②

  由①②解得a=1,b=5, -----------10分

  所以S△ABC=12absin C=12×1×5×32=534. ---------12分

  20. (12分)

  解:(1)f′(x)=-3x2+12.

  当f′(x)=0时,x=-2或x=2.

  当f′(x)>0时,-22.

  ∴f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递减,在(-2,2)上单调递增.-------3分

  ∴f(x)极小值=f(-2)=-16+m. ,

  f(x)极大值=f(2)=16+m.

  ∴f(x)极大值-f(x)极小值=32. ---------------6分

  (2)由(1)知要使函数y=f(x)有三个零点,必须f(x)极小值<0,f(x)极大值>0,----------10分

  即-16+m<0,16+m>0,∴-16

  ∴m的取值范围为(-16,16). --------------12分

  21.(12分)

  解:(1)由已知得f′(x)=1x,

  所以f′(1)=1=12a,所以a=2. --------3分

  又因为g(1)=0=12a+b,所以b=-1,

  所以g(x)=x-1. --------6分

  (2)因为φ(x)=m(x-1)x+1-f(x)=m(x-1)x+1-ln x在[1,+∞)上是减函数.

  所以φ′(x)=-x2+(2m-2)x-1x(x+1)2≤0在[1,+∞)上恒成立. --------9分

  即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,

  则2m-2≤x+1x,x∈[1,+∞),

  因为x+1x∈[2,+∞),

  所以2m-2≤2,m≤2.

  故实数m的取值范围是(-∞,2]. ----------12分

  22.(12分)

  解:(1)由 ,可得 ,下面分两种情况讨论:

  ① 时,有 恒成立,所以 的单调递增区间为 .-----2分

  ②当 时,令 ,解得 或 .

  当 变化时, , 的变化情况如下表:

  0 0

  单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

  所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , .---6分

  (2)证明:因为 存在极值点,所以由(1)知 且 .由题意,

  得 ,即 , -----7分

  进而 ,

  又 ,且 , ---------10分

  由题意及(1)知,存在唯一实数 满足 ,且 ,

  因此 ,所以 . -------- 12分
上学期高三数学期中试卷理科

  第I卷 (选择题, 共60分)

  一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案)

  1. 已知集合 2, , ,则

  A. {-2,-1,0,1,2,3} B. {-2,-1,0,1,2}

  C.{1,2,3} D. {1,2}

  2.已知复数 (其中i是虚数单位),则 =( )

  A. B. C. D.

  3.在△ABC中,“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的(  )

  A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

  C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

  4设数列 是单调递增的等差数列, 且 , , 成等比数列,则 ( )

  A.1009 B. 1011 C. 2018 D. 2019

  5. ,,则 ( )

  A. B. C. D.

  6.函数 的最小正周期为 ,若其图象向左平移 个单位后得到的函数为奇函数,则 =

  A. B. C.   D.-

  7.函数 的图象可能是( )

  A. B. C. D.

  8.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤”。其意思为“今有持金出五关,第1关收税金为持金的 ,第2关收税金为剩余金的 ,第3关收税金为剩余金的 ,第4关收税金为剩余金的 ,第5关收税金为剩余金的 ,5关所税金之和,恰好重1斤。”则在此问题中,第5关收税金为( )

  A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤

  9.设正实数 满足 则( )

  A. B. C. D.

  10.已知数列 为等差数列,若 ,且它们的前n项和 有最大值,则使得 的n的最大值为( )

  A. 39 B.40 C.41 D.42

  11.已知两个单位向量 , ,且满足,存在向量 使 ,则 的最大值为

  A. 2 B. C. D. 1

  12.已知点 是曲线 上任意一点,记直线 ( 为坐标系原点)的斜率为 ,则( )

  A.至少存在两个点 使得 B.对于任意点 都有

  C.对于任意点 都有 D.至少存在两个点 使得

  第Ⅱ卷 (非选择题, 共90分)

  二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)

  13. 。

  14.设向量 与 的夹角为 , ,则 。

  15.已知 若函数 只有一个零点,则 的取值范围是________。

  16.设△ 的三边 所对的角分别为 .已知 ,则 的最大值为_____。

  三.解答题(满分70分,解答应写出文字说明,推理过程或演算步骤)

  17、(本小题满分12分)

  已知在等差数列 中, 为其前 项和, ;等比数列 的前 项和 .

  (I)求数列 , 的通项公式;

  (II)设 ,求数列 的前 项和 .

  18、(本小题满分12分)

  如图,在 中,点P在边BC上,, , .

  (Ⅰ)求;

  (Ⅱ)若 的面积是,求 .

  19、(本小题满分12分)

  食品安全问题越来越引起人们的重视,农药,化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲,乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的的年收入P与投入 (单价:万元)满足 ,种黄瓜的年收入Q与投入 (单价:万元)满足 ,设甲大棚的投入为 (单价:万元),每年两个大棚的总收益为 (单价:万元).

  (Ⅰ)求 的值

  (Ⅱ)试问如何安排甲,乙两个大棚的投入,才能使总收益 最大?

  20、(本小题满分12分)

  将射线y=17x(x≥0)绕着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A(cos θ,sin θ).

  (I)求点A的坐标;

  (II)若向量 =(sin 2x,2cos θ), =(3sin θ,2cos 2x),求函数 在区间 上的单调性.

  21、(本小题满分12分)

  已知函数 .

  (Ⅰ)当 时,求 的单调区间和极值;

  (Ⅱ)若 ,且 ,证明: .

  请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

  22(本小题满分10分)

  选修4—4:坐标系与参数方程

  在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为 .

  (Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;

  (Ⅱ)设过点 且倾斜角为 的直线l与圆C交于A,B两点,且 ,求直线l的普通方程.

  23(本小题满分10分)

  4—5:不等式

  已知函数 .

  (Ⅰ)若 ,解不等式 ;

  (Ⅱ)若不等式 对任意的实数 恒成立,求 的取值范围.

  泉港一中、南安国光中学高三年段两校联考

  2018-2019学年第一学期期中考试理科数学参考答案

  一. 选择题:DCBBD BDCCA AC

  二. 解答题:

  13. 4 14.

  15. 16.

  三.解答题

  17.解:(I)设等差数列 的首项为 公差为 ,

  ………………3分

  且 满足上式, ……………6分

  (II) …………8分

  ………… 分

  18. Ⅰ 在 中,因为, , ,

  由余弦定理得,………………2分

  所以 ,

  整理得 ,

  解得 .

  所以 .

  所以 是等边三角形.

  所以. ………………6分

  Ⅱ 法1:由于是 的外角,所以.

  因为 的面积是,所以 .

  所以 .…………8分

  在 中,,

  所以 .………………….10分

  在 中,由正弦定理得 ,

  所以 .………………12分

  19.解:(Ⅰ)因为甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,

  所以 .………………4分

  (II) ,………………6分

  依题意得 解得 ,

  故 ( ). ………………7分

  令 , ………………8分

  则 ,

  当 ,即 时, , ………………11分

  所以投入甲大棚128万元,乙大棚72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元……12分

  20.解:(Ⅰ)设射线y=17x(x≥0)与x轴的非负半轴所成的锐角为α,

  则tan α=17,α∈0,π2. ………………2分

  所以tan α

  所以tan θ=tanα+π4=17+11-17×1=43, ………………4分

  θ∈π4,π2,

  所以由sin2θ+cos2θ=1,sin θcos θ=43, 得sin θ=45,cos θ=35.

  所以点A的坐标为35,45. ………………6分

  (II)f(x)=3sin θ•sin 2x+2cos θ•2cos 2x

  =125sin 2x+125cos 2x=1225sin2x+π4. ………………8分

  由x∈0,π2,

  得2x+π4∈π4,5π4,

  2x+π4∈ 即x∈ 时,f(x)单调递增,

  所以f(x)在x∈ 上单调递增在x∈ 上单调递减………………12分

  21. 解:

  ,

  时,因为 ,所以

  函数 的单调递增区间是 ,无单调递减区间,无极值;

  当 时,令 ,解得 ,

  当时, ;当 , .

  所以函数 的单调递减区间是 ,单调递增区间是,

  在区间 上的极小值为,无极大值.……………4分

  (II)因为 ,由 知,函数 在区间 上单调递减,

  在区间上单调递增,

  不妨设 ,则 ,

  要证 ,只要证 ,即证 …………6分

  因为 在区间上单调递增,所以 ,

  又 ,即证 ,……………8分

  构造函数 ,

  即, ,……………10分

  因为 ,所以 , ,即 ,

  所以函数 在区间 上单调递增,故 ,

  而,故,

  所以 ,即 ,所以 成立.……………12分

  22 圆C的极坐标方程为 .

  , , ,

  圆C的直角坐标方程为 ,

  化为圆的标准方程为 ………………5分

  (II)设直线l的参数方程为 为参数

  将l代入圆C的直角坐标方程 中,

  化简得 ,

  设A,B两点所对应的参数分别为 , ,

  由韦达定理知 , ,

  由 , 同号 又, ,

  由 可知 或 ,

  或,解得 ,

  ,

  的普通方程为

  23.(Ⅰ)

  所以解集为: . ………………5分

  (II)

  所以 的取值范围为: . ………………10分


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