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2017高一数学竞赛试题

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  在我们的学习生活中,考试试卷的练习是我们的重要学习方式,我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有学习啦小编为你整理的2017高一数学竞赛试题,希望能够帮助到你!

  2017高一数学竞赛试题

  一、选择题:(本大题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)

  1.已知 , 为集合I的非空真子集,且 , 不相等,若 ,则

  ( )

  A. B. C. D.

  2.与直线 的斜率相等,且过点(-4,3)的直线方程为 (  )

  A. = 32 B. =32

  C. =32 D. =-32

  3. 已知过点 和 的直线的斜率为1,则实数 的值为 ( )

  A.1 B.2 C.1或4 D.1或2

  4. 已知圆锥的表面积为6 ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径为 ( )

  A. B.2 C. D.

  5. 在空间中,给出下面四个命题,则其中正确命题的个数为 (  )

  ①过平面α外的两点,有且只有一个平面与平面α垂直;

  ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等,则α∥β;

  ③若直线l与平面内的无数条直线垂直,则l⊥α;

  ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线;

  A.3 B.2 C.1 D.0

  6. 已知函数 定义域是 ,则函数 的定义域是 ( )

  A. B. C. D.

  7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( )

  8. 设甲,乙两个圆柱的底面面积分别为 ,体积为 ,若它们的侧面积相等且 ,则 的值是 ( )

  A. B. C. D.

  9.设函数 ,如果 ,则 的取值范围是 ( )

  A. 或 B. C. D. 或

  10.已知函数 没有零点,则实数 的取值范围是 (  )

  A. B. C. D.

  11.定义在R上的偶函数 满足:对任意的 ,有 .则 ( )

  A. B.

  C. D.

  12. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各个面中,直角三角形的个数是 ( )

  A.1 B.2 C.3 D.

  第Ⅱ卷(非选择题,共90分)

  二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)..

  13.已知增函数 ,且 ,则 的零点的个数为

  14. 已知 在定义域 上是增函数,则 的取值范围是

  15. 直线 恒过定点

  16. 高为 的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为

  三、解答题(17题10,其余每题12分)

  17.已知一个空间组合体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,请说出该组合体由哪些几何体组成,并且求出该组合体的表面积和体积

  18.已知偶函数 的定义域为 ,且在 上是增函数, 试比较 与 的大小。

  19. 已知方程 + +6- =0( ).

  (1)求该方程表示一条直线的条件;

  (2)当 为何实数时,方程表示的直线斜率不存在?求出这时的直线方程;

  (3)已知方程表示的直线 在 轴上的截距为 -3,求实数 的值;

  20. 已知函数 ,判断函数的奇偶性,单调性,并且求出值域

  21. 如图,长方体 ﹣ 中, , , ,点 分别在 上, .过点 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

  (1)在图中画出这个正方形(说明画法和理由)

  (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.

  22. 如图,三棱锥P-A BC中,平面PAC 平面ABC, ABC= ,点D、E在线段AC上, 且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF//面PBC.

  (1)证明:EF// BC.

  (2)证明:AB 平面PFE.

  (3)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.

  2017高一数学竞赛试题答案

  一、ACACD,BCBDA,DB

  13、1个 14、 15、(-2,3) 16、1

  17、解:解:由一个半球和一个圆柱组成的…2分

  表面积是: …6分

  体积是: … 10分

  18、解: …5分

  因为函数为偶函数,且在 上是增函数,所以在 是减函数…8分

  所以 …12分

  19、解:解:(1)当x,y的系数不 同时为零时,方程表示一条直线,

  令m2―2m―3=0,解得m=-1或m=3;

  令2m2+m-1=0,解得m=-1或m= .

  所以方程表示一条直线的条件是m∈R,且m≠-1.…4分

  (2)由(1)易知 ,当m= 时,方程表示的直线的斜率不存在,此时的方程为x= ,它表示一条垂直于 轴的直线.…8

  (3)依题意,有 =-3,所以3m2-4m-15=0.  所以m=3,或m=- ,由(1)知所求m=- .…12分

  20、解:函数的定义域是 ,…2分

  因为 ,所以函数是 奇函数。 …4分  ,设 ,则

  当 时, ,所以 ,所以在 上是减函数;  …8分

  当 时, ,所以 ,  所以在 上也是减函数。

  由 , ,所以 或 …12分

  21、解:

  (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF如图:在面ABCD中做HG平行于BC,连接EH,FG且HB=GC=6,则E F平行且等于HG,所以四边形EFGH是平行四边形,EF平行于 ,所以EF垂直面 ,所以EF垂直于EH,且经过计算可知EH=FG=10,所以EFGH是正方形 …6分

  (Ⅱ)作EM⊥AB,垂足为M,则AM= A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.

  因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.  于是MH= .

  因为长方体被平面 分为两个高为10的直棱柱,

  所以其体积的比值为 ( 也正确)…12分

  22、(1)证明: EF//面PBC.EF 面ABC, 面PBC 面ABC=BC,

  所以根据线面平行的性质可知EF// BC. …4分

  (2)由DE=EC,PD=PC可知:E为等腰 PDC中D C边的中点,

  故PE AC,又平面PAC 平面ABC,

  平面PAC 面ABC=AC,PE 平面PAC, PE AC,

  所以PE 平面ABC,

  所以PE AB,因为 ABC= ,EF// BC.所以AB EF

  所以AB 面PEF…8分

  (3)设BC= ,在直角三角形ABC中,AB= ,  ,  EF// BC知 AFE相似于 ABC,所以

  由AD= AE, ,

  从而四边形DFBC的面积为 ,

  由(2)可知PE是四棱锥P-DFBC的高,PE= ,

  所以V=  所以 ,所以 或者 ,

  所以BC=3或BC= …12分

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