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高中数学不等式的证明复习教案设计

欣怡分享

  教师在设计教案的时候,教案逻辑思路清晰,符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。这样才能有效提高教学质量。下面是学习啦小编分享给大家的高中数学不等式的证明复习教案,希望大家喜欢!

  高中数学不等式的证明复习教案一

  教学目标

  1.掌握分析法证明不等式;

  2.理解分析法实质——执果索因;

  3.提高证明不等式证法灵活性.

  教学重点 分析法

  教学难点 分析法实质的理解

  教学方法 启发引导式

  教学活动

  (一)导入新课

  (教师活动)教师提出问题,待回答和思考后点评.

  (活动)回答和思考教师提出的问题.

  [问题1]我们已经学习了哪几种不等式的证明方法?什么是比较法?什么是综合法?

  [问题 2]能否用比较法或综合法证明不等式:

  [点评]在证明不等式时,若用比较法或综合法难以下手时,可采用另一种证明方法:分析法.(板书课题)

  设计意图:复习已学证明不等式的方法.指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处,

  激发学习新的证明不等式知识的积极性,导入本节课学习内容:用分析法证明不等式.

  (二)新课讲授

  【尝试探索、建立新知】

  (教师活动)教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系,然后提出问题供学生研究,并点评.帮助建立分析法证明不等式的知识体系.投影分析法证明不等式的概念.

  (活动)与教师一道分析综合法的逻辑关系,在教师启发、引导下尝试探索,构建新知.

  [讲解]综合法证明不等式的逻辑关系:以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论,逐步寻找它成立的必要条件,直到必要条件就是要证明的不等式.

  [问题1]我们能不能用同样的思考问题的方式,把要证明的不等式作为结论,逐步去寻找它成立的充分条件呢?

  [问题2]当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时,说明了什么呢?

  [问题3]说明要证明的不等式成立的理由是什么呢?

  [点评]从要证明的结论入手,逆求使它成立的充分条件,直到充分条件显然成立为止,从而得出要证明的结论成立.就是分析法的逻辑关系.

  [投影]分析法证明不等式的概念.(见课本)

  设计意图:对比综合法的逻辑关系,教师层层设置问题,激发积极思考、研究.建立新的知识;分析法证明不等式.培养学习创新意识.

  【例题示范、学会应用】

  (教师活动)教师板书或投影例题,引导研究问题,构思证题方法,学会用分析法证明不等式,并点评用分析法证明不等式必须注意的问题.

  (学生活动)在教师引导下,研究问题,与教师一道完成问题的论证.

  例1 求证

  [分析]此题用比较法和综合法都很难入手,应考虑用分析法.

  证明:(见课本)

  [点评]证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.此例中,我们很难想到从“ ”入手,因此,在不等式的证明中,分析法占有重要的位置,我们常用分析法探索证明途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决问题的一种重要思维方法,事实上,有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上,分析法的优越性正体现在此.

  例2 已知: ,求证: (用分析法)请思考下列证法有没有错误?若有错误,错在何处?

  [投影]证法一:因为 ,所以 、去分母,化为 ,就是 .由已知 成立,所以求证的不等式成立.

  证法二:欲证 ,因为

  只需证 ,

  即证 ,

  即证

  因为 成立,所以 成立.

  (证法二正确,证法一错误.错误的原因是:虽然是从结论出发,但不是逐步逆战结论成立的充分条件,事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件,所以不符合分析法的逻辑原理,犯了逻辑上的错误.)

  [点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是:

  (结论)(步步寻找不等式成立的充分条件)(结论)

  分析法是“执果索因”,它与综合法的证明过程(由因导果)恰恰相反.②用分析法证明时要注意书写格式.分析法论证“若a则b”这个命题的书写格式是:

  要证命题b为真,

  只需证明 为真,从而有……

  这只需证明 为真,从而又有……

  ……

  这只需证明a为真.

  而已知a为真,故命题b必为真.

  要理解上述格式中蕴含的逻辑关系.

  [投影] 例3 证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面(指横截面,下同)的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

  [分析]设未知数,列方程,因为当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小,设截面的周长为 ,则周长为的圆的半径为 ,截面积为 ;周长为 的正方形边长为 ,截面积为 ,所以本题只需证明:

  证明:(见课本)

  设计意图:理解分析法与综合法的内在联系,说明分析法在证明不等式中的重要地位.掌

  握分析法证明不等式,特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系.灵活掌握分析法的应用,培养应用知识解决实际问题的能力.

  【课堂练习】

  (教师活动)打出字幕(练习),请甲、乙两位同学板演,巡视的解题情况,对正确的证法给予肯定,对偏差及时纠正.点评练习中存在的问题.

  (活动)在笔记本上完成练习,甲、乙两位同学板演.

  【字幕】练习1.求证

  2.求证:

  设计意图:掌握用分析法证明不等式,反馈课堂效果,调节课堂教学.

  【分析归纳、小结解法】

  (教师活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小给用分析法证明不等式的解题方法.

  (活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记.

  1.分析法是证明不等式的一种常用基本方法.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的.

  2.用分析法证明不等式时,要正确运用不等式的性质逆找充分条件,注意分析法的证题格式.

  设计意图:培养分析归纳问题的能力,掌握分析法证明不等式的方法.

  (三)小结

  (教师活动)教师小结本节课所学的知识.

  (活动)与教师一道小结,并记录笔记.

  本节课主要学习了用分析法证明不等式.应用分析法证明不等式时,掌握一些常用技巧:

  通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母,两边乘方、开方等.在使用这些技巧变形时,要注意遵循不等式的性质.另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.理解分析法和综合法是对立统一的两个方面.有时可以用分析法思索,而用综合法书写证明,或者分析法、综合法相结合,共同完成证明过程.

  设计意图:培养对所学知识进行概括归纳的能力,巩固所学知识.

  (四)布置作业

  1.课本作业:p17 4、5.

  2.思考题:若 ,求证

  3.研究性题:已知函数 , ,若 、 ,且 证明

  设计意图:思考题供学有余力同学练习,研究性题供研究分析法证明有关问题.

  高中数学不等式的证明复习教案二

  ●知识梳理

  1.|x|>a x>a或x<-a(a>0);

  |x|0).0)中的a>0改为a∈R还成立吗?

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  2.形如|x-a|+|x-b|≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.

  3.含参不等式的求解,通常对参数分类讨论.

  4.绝对值不等式的性质:

  ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

  思考讨论

  1.在|x|>a x>a或x<-a(a>0)、|x|

  2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?

  ●点击双基

  1.设a、b是满足ab<0的实数,那么

  A.|a+b|>|a-b|

  B.|a+b|<|a-b|

  C.|a-b|<||a|-|b||

  D.|a-b|<|a|+|b|

  解析:用赋值法.令a=1,b=-1,代入检验.

  答案:B

  2.不等式|2x2-1|≤1的解集为

  A.{x|-1≤x≤1} B.{x|-2≤x≤2}

  C.{x|0≤x≤2} D.{x|-2≤x≤0}

  解析:由|2x2-1|≤1得-1≤2x2-1≤1.

  ∴0≤x2≤1,即-1≤x≤1.

  答案:A

  3.不等式|x+log3x|<|x|+|log3x|的解集为

  A.(0,1) B.(1,+∞)

  C.(0,+∞) D.(-∞,+∞)

  解析:∵x>0,x与log3x异号,

  ∴log3x<0.∴0

  答案:A

  4.已知不等式a≤ 对x取一切负数恒成立,则a的取值范围是____________.

  解析:要使a≤ 对x取一切负数恒成立,

  令t=|x|>0,则a≤ .

  而 ≥ =2 ,

  ∴a≤2 .

  答案:a≤2

  5.已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为(- , ),则t=____________.

  解析:|2x-t|<1-t,t-1<2x-t<1-t,

  2t-1<2x<1,t-

  ∴t=0.

  答案:0

  ●典例剖析

  【例1】 解不等式|2x+1|+|x-2|>4.

  剖析:解带绝对值的不等式,需先去绝对值,多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0,x-2=0,得两个零点x1=- ,x2=2.

  解:当x≤- 时,原不等式可化为

  -2x-1+2-x>4,

  ∴x<-1.

  当-

  2x+1+2-x>4,

  ∴x>1.又-

  ∴1

  当x>2时,原不等式可化为

  2x+1+x-2>4,∴x> .

  又x>2,∴x>2.

  综上,得原不等式的解集为{x|x<-1或1

  深化拓展

  若此题再多一个含绝对值式子.如:

  |2x+1|+|x-2|+|x-1|>4,你又如何去解?

  分析:令2x+1=0,x-2=0,x-1=0,

  得x1=- ,x2=1,x3=2.

  解:当x≤- 时,原不等式化为

  -2x-1+2-x+1-x>4,∴x<- .

  当-

  2x+1+2-x+1-x>4,4>4(矛盾).

  当1

  2x+1+2-x+x-1>4,∴x>1.

  又1

  ∴1

  当x>2时,原不等式可化为

  2x+1+x-2+x-1>4,∴x> .

  又x>2,∴x>2.

  综上所述,原不等式的解集为{x|x<- 或x>1}.

  【例2】 解不等式|x2-9|≤x+3.

  剖析:需先去绝对值,可按定义去绝对值,也可利用|x|≤a -a≤x≤a去绝对值.

  解法一:原不等式 (1) 或(2)

  不等式(1) x=-3或3≤x≤4;

  不等式(2) 2≤x<3.

  ∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.

  解法二:原不等式等价于

  或x≥2 x=-3或2≤x≤4.

  ∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.

  【例3】 (理)已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R).

  (1)判断f(x)的奇偶性;

  (2)解关于x的不等式:f(x)≥2a2.

  解:(1)当a=0时,

  f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),

  ∴f(x)是奇函数.

  当a≠0时,f(a)=0且f(-a)=-2a|a|.

  故f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a).

  ∴f(x)是非奇非偶函数.

  (2)由题设知x|x-a|≥2a2,

  ∴原不等式等价于 ①

  或 ②

  由①得 x∈ .

  由②得

  当a=0时,x≥0.

  当a>0时,

  ∴x≥2a.

  当a<0时,

  即x≥-a.

  综上

  a≥0时,f(x)≥2a2的解集为{x|x≥2a};

  a<0时,f(x)≥2a2的解集为{x|x≥-a}.

  (文)设函数f(x)=ax+2,不等式| f(x)|<6的解集为(-1,2),试求不等式 ≤1的解集.解:|ax+2|<6,

  ∴(ax+2)2<36,

  即a2x2+4ax-32<0.

  由题设可得

  解得a=-4.

  ∴f(x)=-4x+2.

  由 ≤1,即 ≤1可得 ≥0.

  解得x> 或x≤ .

  ∴原不等式的解集为{x|x> 或x≤ }.

  ●闯关训练

  夯实基础

  1.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3

  A.{a|3

  C.{a|3

  解析:由题意知 得3≤a≤4.

  答案:B

  2.不等式|x2+2x|<3的解集为____________.

  解析:-3

  ∴-3

  答案:-3

  3.不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.

  解法一:|x+2|≥|x| (x+2)2≥x2 4x+4≥0 x≥-1.

  解法二: 在同一直角坐标系下作出f(x)=|x+2|与g(x)=|x|的图象,根据图象可得x≥-1.

  解法三:根据绝对值的几何意义,不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x到-2的距离不小于到0的距离,∴x≥-1.

  答案:{x|x≥-1}

  评述:本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法,必须掌握.

  4.当0

  解:由0x-2.

  这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集. ①

  或 ②

  解不等式组①得解集为{x| ≤x<2},

  解不等式组②得解集为{x|2≤x<5},

  所以原不等式的解集为{x| ≤x<5}.

  5.关于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的两实根为x1、x2,若|x1|+|x2|=2,求m的值.

  解:x1、x2为方程两实根,

  ∴Δ=36(m-1)2-12(m2+1)≥0.

  ∴m≥ 或m≤ .

  又∵x1•x2= >0,∴x1、x2同号.

  ∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m-1|.

  于是有2|m-1|=2,∴m=0或2.

  ∴m=0.

  培养能力

  6.解不等式 ≤ .

  解:(1)当x2-2<0且x≠0,即当-

  (2)当x2-2>0时,原不等式与不等式组 等价.

  x2-2≥|x|,即|x|2-|x|-2≥0.

  ∴|x|≥2.∴不等式组的解为|x|≥2,

  即x≤-2或x≥2.

  ∴原不等式的解集为(-∞,-2]∪(- ,0)∪(0, )∪[2,+∞).

  7.已知函数f(x)= 的定义域恰为不等式log2(x+3)+log x≤3的解集,且f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围.

  解:由log2(x+3)+log x≤3得

  x≥ ,

  即f(x)的定义域为[ ,+∞).

  ∵f(x)在定义域[ ,+∞)内单调递减,

  ∴当x2>x1≥ 时,f(x1)-f(x2)>0恒成立,即有(ax1- +2)-(ax2- +2)>0 a(x1-x2)-( - )>0

  (x1-x2)(a+ )>0恒成立.

  ∵x10

  a+ <0.

  ∵x1x2> - >- ,

  要使a<- 恒成立,

  则a的取值范围是a≤- .

  8.有点难度哟!

  已知f(x)=x2-x+c定义在区间[0,1]上,x1、x2∈[0,1],且x1≠x2,求证:

  (1)f(0)=f(1);

  (2)| f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|;

  (3)| f(x1)-f(x2)|< ;

  (4)| f(x1)-f(x2)|≤ .

  证明:(1)f(0)=c,f(1)=c,

  ∴f(0)=f(1).

  (2)| f(x2)-f(x1)|=|x2-x1||x2+x1-1|.

  ∵0≤x1≤1,∴0≤x2≤1,0

  ∴-1

  ∴| f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|.

  (3)不妨设x2>x1,由(2)知

  | f(x2)-f(x1)|

  而由f(0)=f(1),从而

  | f(x2)-f(x1)|=| f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)|≤| f(x2)-f(1)|+| f(0)-

  f(x1)|<|1-x2|+|x1|<1-x2+x1. ②

  ①+②得2| f(x2)-f(x1)|<1,

  即| f(x2)-f(x1)|< .

  (4)|f(x2)-f(x1)|≤fmax-fmin=f(0)-f( )= .

  探究创新

  9.(1)已知|a|<1,|b|<1,求证:| |>1;

  (2)求实数λ的取值范围,使不等式| |>1对满足|a|<1,|b|<1的一切实数a、b恒成立;

  (3)已知|a|<1,若| |<1,求b的取值范围.

  (1)证明:|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1).

  ∵|a|<1,|b|<1,∴a2-1<0,b2-1<0.

  ∴|1-ab|2-|a-b|2>0.

  ∴|1-ab|>|a-b|,

  = >1.

  (2)解:∵| |>1 |1-abλ|2-|aλ-b|2=(a2λ2-1)(b2-1)>0.

  ∵b2<1,∴a2λ2-1<0对于任意满足|a|<1的a恒成立.

  当a=0时,a2λ2-1<0成立;

  当a≠0时,要使λ2< 对于任意满足|a|<1的a恒成立,而 >1,

  ∴|λ|≤1.故-1≤λ≤1.

  (3)| |<1 ( )2<1 (a+b)2<(1+ab)2 a2+b2-1-a2b2<0 (a2-1)(b2-1)<0.

  ∵|a|<1,∴a2<1.∴1-b2>0,即-1

  ●思悟小结

  1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是:(1)由定义分段讨论;(2)利用绝对值不等式的性质;(3)平方.

  2.解含参数的不等式,如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关,就必须分类讨论.注意:(1)要考虑参数的总取值范围.(2)用同一标准对参数进行划分,做到不重不漏.

  ●教师下载中心

  教学点睛

  1.绝对值是历年高考的重点,而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析,绝对值的特点是带有绝对值符号,如何去掉绝对值符号,一定要教给学生方法,切不可以题论题.

  2.无理不等式在新课程书本并未出现,但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.

  3.指数、对数不等式能利用单调性求解.

  拓展题例

  【例1】 设x1、x2、y1、y2是实数,且满足x12+x22≤1,证明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).

  分析:要证原不等式成立,也就是证(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.

  证明:(1)当x12+x22=1时,原不等式成立.

  (2)当x12+x22<1时,联想根的判别式,可构造函数f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1),其根的判别式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).

  由题意x12+x22<1,函数f(x)的图象开口向下.

  又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0,

  因此抛物线与x轴必有公共点.

  ∴Δ≥0.

  ∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0,

  即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).

  高中数学不等式的证明复习教案三

  (1)一元二次不等式:一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零;注:要对进行讨论:

  (2)绝对值不等式:若,则;;

  注意:

  (1)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有:

  ⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;

  (2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。

  (3).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。

  (4)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式;

  (5)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集,即是这个不等式组的解集,在求交集中,通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共部分。

  (6)解含有参数的不等式:

  解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论:

  ①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性.

  ②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论.

  ③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△),比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数,要讨论。

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