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证明三角形重心判定性质

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重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1,重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等,重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。下面小编给大家带来证明三角形重心判定性质,希望能帮助到大家!

证明三角形重心判定性质

证明三角形重心判定定理

例:已知:△ABC,E、F是AB,AC的中点。EC、FB交于G。

求证:EG=1/2CG

证明:过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE,EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

方法二 连接EF

利用三角形相似

求证:EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC

利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC

证明三角形重心判定性质

证明方法:

在△ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知:

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

过O,A分别作a边上高OH',AH

可知OH'=1/3AH

则,S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

同理可证S△AOC=1/3S△ABC

S△AOB=1/3S△ABC

所以,S△BOC=S△AOC=S△AOB

在三角形ABC中,向量BO与向量BF共线,故可设BO=xBF

根据三角形加法法则:向量AO=AB+BO

=a+ xBF=a+ x(AF-AB)

= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b

向量CO与向量CD共线,故可设CO=yCD,

根据三角形加法法则:向量AO=AC+CO

=b+ yCD=b+y(AD-AC)

= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.

所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b

则1-x= y/2, x/2=1-y,

解得x=2/3,y=2/3.

向量BO=2/3BF,向量CO=2/3CD

即BO:OF=CO:OD=2。

∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b

又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)

证明三角形重心判定方法

已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。

求证:F为AB中点. 三角形重心

证明:根据燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BOC,再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,

(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3 纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标(Z1+Z2+Z3)/3

5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分. 证明:刚才证明三线交一时已证。

6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。


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